第一节 统计技术基础

一、随机变量的基本概念

1. 事件和随机事件

事件是指观测或试验的一种结果，事件区分为3种：

（1）必然事件。在一定条件下必然出现的事件，用U表示。

（2）不可能事件。在一定条件下不可能出现的事件，V。

（3）随机事件。在随机试验中，对一次试验可能出现也可能不出现，而在多次重复试验中却具有某种规律的事件。

二、随机变量及其数字特征

1.随机变量

定义：如果某一变量（例如测量结果）在一定条件下，取某一值或某一范围内取值是一个随机事件，则这样的量叫做随机变量。

按照随机变量所取数值的分布情况不同，可分为两种：

（1）连续性随机变量

（2）离散型随机变量

2. 分布函数

随机变量的特点是以一定的概率取值，但并不是所有的观测或试验都能以一定的概率取某一固定值。

3. 随机变量的数字特征

包括数学期望、方差、矩、协方差

（1）数学期望：是一个平均的大约数值，随机变量的所有可能值围绕着它而变化。分为离散型和连续型。

数学期望是均值这一概念在随机变量上的推广，并不是简单的算术平均值，而是以概率为权的加权平均值。

（2）方差：方差是指随机变量的中心化概率分布的二阶矩。

（3）协方差：在联合概率分布下，两个中心化随机变量乘积的均值

（两个不同参数之间的方差就是协方差 ）

3. t分布（学生分布）

它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t测试的基础。当母群体的标准差是未知却又需要估计时，可以用学生t分布。

样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小样本会产生很大的误差，样本小时改用学生t检定。

t检定分布无论样本数量

大或小皆可应用。

自由度n越大，t分布。

曲线越接近标准正态分布曲线。

自由度n=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。

四、统计的概念

1.总体、样本与样本空间

总体是指所考虑对象的全体。

样本是指一个或多个抽样单元组成的总体的子集。

样本空间是指所有可能结果的集合。

2.算术平均值

是总体单位某一数量标志值之和除以总体单位总量。

3.相关系数：在联合概率分布下，两个标准化随机变量乘积的均值。

【多选】任意抛掷一枚硬币两次，落地后见面的次数可能为（     ）。

A. 1次    B. 2次    C. 3次    D. 0次

答案：ABD

【单选】从10个编号为1-10的球中任意抽取一个，取得的编号值被2或3整除的概率为（     ）。

A.1/2    B.3/10    C.7/10    D.1/10

答案：C

【单选】随机事件的特点是（     ）。

A.在一次试验中可能出现           B.在一次试验中可能不出现

C.在量的重复试验呈现出规律性     D.以上都是

答案：D

【2020单选】在N次重复试验中，若随机事件A出现的次数为nA，则随机事件A出现的概率PA为（     ）。

A.nA/N   B.N/nA   C.Lim（nA/N） D.（nA/N）×100%

答案：A

【2021单选】A和B为两个独立事件，A单独发生的概率时0.6，B单独发生的概率时0.3，则A和B同时发生的概率是（     ）。

A.0.18   B.0.30   C.0.90    D.0.45

答案：A

【2022单选】一枚硬币连续投掷3次，观测出现正面的次数，则观测值的样本空间为：S={0，1，2，3}。（      ）

答案：正确

【单选】两道单选题各有A\B\C\D四个选项，全部答对的概率为（      ）。

A.1/4   B.1/8   C.1/2    D.1/16

答案：D

【多选】关于事件A发生的不同情况其概率的叙述正确的是（     ）。

A.由于频率总是介于0的1之间，故随机事件A的概率也是介于0的1之间

B.必然事件的概率1

C.小概率事件每次试验都会发生

D.不可能事件的概率是0

答案：ABD

【单选】随机变量的特点是以一定的（      ）在一定的区间上取值。

A.概率 B.数据 C.频率密度 D.素质大小

答案：A

【2024多选】统计学中，随机变量的数字特征包括（  ）。

A.方差B.协方差C.数学期望D.测量不确定度

答案：ABC

【单选】若两个事件A、B是独立事件（     ）。

A.P(A+B)=P(A)+P(B)    B.P(AB)=P(A)*P(B)

C.P(A-B)=P(A)-P(B)     D.P(A)+P(B)=1

答案：B

【2022单选】关于统计分布，以下说法正确的是（     ）。

A.均匀分布为对称分布       B.标准正态分布曲线与横坐标轴永不相交

C.正态分布相对于y轴对称   D.正态分布曲线越窄，标准差越大

答案：B

【单选】随机事件的概率总是介于（      ）之间。

A.0-100    B.1-100   C.0-1   D.0-10

答案：C

【单选】A和B为互斥事件，A发生的概率是0.3.B发生的概率是0.5，则A+B发生的概率是（     ）。

A.0.8    B.0.3    C.0.15    D.0.5

答案：A

【单选】以下不属于常见随机变量的概率分布类型的是（      ）。

A.均匀分布   B.正态分布   C.N分布   D.t分布

答案：C

【单选】若随机变量ξ 服从正态分布，ξ –N（0，2）则该正态分布的方差为（      ）。

A. 0  B. 20.5   C. 2    D. 4

答案：C

解析：期望为0，方差为2

【多选】标准正态分布图的形状特征有（     ）。

A.中间高  B.两边低   C.对称性   D.均匀态

答案：ABC

【2021判断】当样本数量n=∞时，t分布趋近于均匀分布。（     ）

答案：错误

【单选】有10个随机样本值：26.0，25.3，24.1，24.8，30.1，21.6，20.7，23.4，15.4，24.4，其标准差为(      )。

A.3.8    B.4.4    C.9.0   D.4.6

答案：A

【单选】关于t分布下面哪一种说法是正确的（      ）。

A.t分布与梯形分布特征相似          B.t分布与标准正态分布图特征相同

C.标准正态分布是t分布的特殊形式    D.t分布与均匀分布图形相似

答案：C

【2021单选】当重复测量的结果受大量、微小、独立因素影响时，其概率分布近似为（      ）。

A.均匀分布   B.正态分布   C.泊松分布   D.U形分布

答案：B

【判断】正态分布图中，标准偏差是f（x）曲线的形状参数，标准差越大，曲线高而窄，随机变量在平均值附近出现的密度越大。（     ）

答案：错误

【判断】概率是描述随机事件在试验中的可能性大小的量，其大小是变动的。（      ）

答案：错误

【判断】通常认为，在一次试验中，小概率事件几乎是不会发生的。（      ）

答案：正确

【判断】观测样本越多，所得结果的标准差越小。（     ）

答案：正确

【判断】数学期望的均值不是简单的算术平均值，而是以概率为权的加权平均值。（     ）

答案：正确

【多选】多关于t分布，下列说法错误的有（     ）

A.t分布有一个拐点                    B.t分布与标准正态分布的图型特征相同

C.标准正态分布是t分布的特殊形式     D.t分布与均匀分布图形相似

答案：BD

【2023单选】若事件A的发生不影响事件B的发生，关于概率的等式，成立的是（      ）。

A. P(A+B)=P(A)+P(B)    B. P(AB)=P(A)+P(B)

C. P(AB)=P(A)P(B)      D. P(AB)=0

答案：C

【2023单选】在N次的重复试验中，若随机事件A出现了nA次，则随机事件A出现的概率为（      ）

A. nA/N   B. N/nA   C. lim(nA/N)N→∞   D. (nA/N)×100%

答案：A

【2022单选】若事件A与B互相独立，且两事件单独发生的概率分别为30%和20%，则A和B同时发生的概率为（     ）。

A.6%   B.25%   C.30%   D.50%

答案：A

解析：独立事件P(AB)=P(A).P(B)=30%×20%=6%

【2023判断】正态分布的标准差越大，其概率密度函数曲线的峰越平缓。（      ）

答案：正确

【2022单选】当自由度为无穷大时，t分布（      ）。

A.不存在   B.趋向于0   C.转换为标准正态分布   D.转换为均匀分布

答案：C

解析：t型分布

自由度n越大，t分布

曲线越接近标准正态分布曲线。

自由度n=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线

【2024判断】正态分布有两个参数——μ"和o,决定了正态分布的位置和形态，对于标准正态分布，μ=1,σ=0。

答案：错误